ตอนจบของปัญหาชวนคิดทางคณิตศาสตร์

สวัสดีครับ วันนี้ก็เข้ามาสู่จุดจบของปัญหาทางคณิตศาสตร์นะครับ จากเรื่องราวทั้งหมดที่เคยพูดนั้นเป็นเรื่องของการใช้เหตุผลซึ่งในเหตุผลบางครั้งของคณิตศาสตร์นั้นก็เป็นเรื่องของความเป็นไปได้กับสิ่งที่มีอยู่ซึ่งเราเรียกเรื่องใหญ่ของคณิตศาสตร์นั้นว่า “คอมบินาทอริค” วิชาคอมบินาทอริค คือ 1.ปัญหาเกี่ยวกับความเป็นไปได้หรือการมีอยู่ในการจัดสิ่งของให้มีรูปแบบซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ต้องการนั้น มักไม่แน่ชัดเสมอว่าจะจัดได้หรือไม่ ถ้าการจัดนั้นเป็นไปได้หรือมีอยู่ จะต้องสามารถแสดงวิธีจัดให้ดูได้ ถ้าการจัดนั้นเป็นไปได้ก็มักจะถามต่อไปว่าจะจัดได้กี่วิธี 2.ปัญหาเกี่ยวกับการแจงนับ การจัดสิ่งของให้สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ต้องการนั้น อาจทำได้แตกต่างกันหลายวิธี ดังนั้นจึงจำเป็นจะต้องมีการแจงนับ ซึ่งจะต้องอาศัยเทคนิคต่างๆช่วยในการนับ สำหรับเรื่องนี้ผมก็จะนำตัวอย่างเกี่ยวกับเรื่องของชีวิตประจำวันอย่างง่ายๆมาให้ท่านผู้ชมได้ศึกษาวิเคราะห์กันดูน่าครับ กับปัญหาการปกคลุมกระดานหมากรุก(Perfect Covers of Chessboards) ทุกคนคงรู้จักกระดานหมากรุกกันดีอ่ะนะครับ กระดารหมากรุกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ 64 รูปเรียงกันมี 8 แถว 8 คอลัมน์ ระบายแต่ละช่องสี เช่นระบายสีขาวและสีดำสลับกัน สมมติว่ามีโดมิโนซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูป ต่อเนื่องกัน โดมิโนนี้สามารถวางคลุมตาหมากรุกซึ่งติดกันได้ 2 ช่อง นำโดมิโนซึ่งมีลักษณะดังกล่าว 32 ตัววางเรียงบนกระดานหมากรุกโดยไม่ให้โดมิโนซ้อนกัน อยากทราบว่าโดมิโน 32 ตัวนั้นสามารถปกคลุมกระดานหมากรุกได้ทั้งหมดหรือไม่ ถ้าได้จะเรียกการปกคลุมดังกล่าวว่าการปกคลุมสมบูรณ์(perfect cover)ปัญหานี้สามารถขยายเป็นปัญหาทั่วไปโดยแทนกระดานหมากรุกธรรมดาที่มี 8 แถว 8 คอลัมน์ด้วยกระดานหมากรุกที่มี m แถว n คอลัมน์ อยากทราบว่ากระดานหมากรุกที่มี m แถว n คอลัมน์นี้มีการปกคลุมที่สมบูรณ์หรือไม่ สิ่งที่เห็นได้ชัดอย่างหนึ่งก็คือกระดานหมากรุกที่จะมีการปกคลุมที่สมบูรณ์ได้นั้นจำนวนตาหมากรุกจะต้องเป็นจำนวนคู่นั่นคือ m หรือ n จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะต้องเป็นจำนวนคู่หรือเป็นทั้งคู่ เพราะโดมิโนแต่ละตัวปกคลุมตาหมากรุกได้ 2 ช่อง ทั้งนี้มิได้หมายความว่าเมื่อจำนวนตาหมากรุกเป็นจำนวนคู่แล้วจะสามารถมีการปกคลุมที่สมบูรณ์ได้เสมอไป ถ้าลองพิจารณาตารางหมากรุกขนาด 8×8 แต่ละช่องระบายด้วยสีขาวและสีดำสลับกัน จะเห็นว่ามีช่องสีขาวและสีดำอย่างละ 32 ช่องเท่ากัน ถ้าตัด 2 ช่องที่อยู่ตรงข้ามกันบนแนวทแยงมุมออก นั่นคือตัดมุมที่อยู่บนขวาสุดและช่องที่อยู่มุมล่างซ้ายสุด จำนวนตาหมากรุกซึ่งเดิมมี 64 ช่องเหลือเพียง 62 ช่อง อยากทราบว่าตารางหมากรุกนี้จะมีการปกคลุมที่สมบูรณ์หรือไม่ เพราะเหตุใด ติ๊กตอก!!! ติ๊กตอก!!! ติ๊กตอก!!!  คำตอบคือไม่มีครับ เพราะว่าโดมิโนแต่ละตัวจะต้องปกคลุมตาหมากรุกสองช่องติดกันซึ่งมีสีต่างกัน ถ้าพิจารณาให้ละเอียดจะพบว่า 2 ช่องที่ตัดออกไปนั้นเป็นสีเดียวกันสมมติว่าเป็นสีดำทั้งคู่ หลังจากที่ตัดแล้วจะเหลือสีขาวเท่าเดิม 32 ช่องและเหลือสีดำเพียง 30 ช่อง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะเกิดการปกคลุมอย่างสมบูรณ์ ผมเชื่อว่าเหตุผลเหล่านี้นั้นคงเป็นปัญหาเบื้องต้นที่สามารถจุดประกายความรู้ให้ทุกท่านที่ได้ชมและศึกษาได้ และจะทำให้พัฒนาการของเรานั้นเป็นคนที่มีเหตุผลได้มากขึ้นนะครับ ยังไงก็ขอให้ความรู้พวกนี้เป็นประโยชน์ต่อท่านผู้ชมได้นะครับ ขอบคุณครับ

ขอขอบคุณ : เอกสารประกอบการอบรมของค่าย สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ที่และ www. google. com ที่เป็นแหล่งข้อมูลและรูปภาพบางส่วนให้ครับ🙂

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: